Что такое диэлектрическая проницаемость

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 73

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 74

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 73

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 74

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 73

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 74

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 73

Warning: Undefined array key 9 in /var/www/electro-scooterz.ru/data/www/electro-scooterz.ru/wp-content/plugins/fotorama/fotorama.php on line 74

Содержание

Объяснение

В электромагнетизме , то электрическое поле смещения D представляет собой распределение электрических зарядов в данной среде в результате присутствия электрического поля Е . Это распределение включает миграцию заряда и переориентацию электрического диполя . Его отношение к диэлектрической проницаемости в очень простом случае линейных, однородных, изотропных материалов с «мгновенным» откликом на изменения электрического поля:

Dзнак равноεE{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

где диэлектрическая проницаемость ε — скаляр . Если среда анизотропна , диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга .

В общем, диэлектрическая проницаемость не является постоянной величиной, так как она может меняться в зависимости от положения в среде, частоты приложенного поля, влажности, температуры и других параметров. В нелинейной среде диэлектрическая проницаемость может зависеть от напряженности электрического поля. Диэлектрическая проницаемость как функция частоты может принимать действительные или комплексные значения.

В единицах СИ диэлектрическая проницаемость измеряется в фарадах на метр (Ф / м или A 2 · с 4 · кг −1 · м −3 ). Поле смещения D измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл / м 2 ), а электрическое поле E измеряется в вольтах на метр (В / м). D и E описывают взаимодействие между заряженными объектами. D связано с плотностями заряда, связанными с этим взаимодействием, а E связано с силами и разностью потенциалов .

§ 5. Проводники и диэлектрики в электрическом поле

Как нам уже известно, проводник представляет собой тело, которое содержит большое число свободных электронов, заряды которых компенсируются положительными зарядами ядер атомов. Если металлический проводник поместить в электрическое поле (рис. 12), то под влиянием сил поля свободные электроны проводника придут в движение в сторону, противоположную направлению сил поля. В результате этого на одной стороне проводника возникает избыточный отрицательный заряд, а на другой стороне проводника — избыточный положительный заряд.

Рис. 12. Проводник в электрическом поле

Разделение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электрического поля называется электризацией через влияние, или электростатической индукцией, а заряды на проводнике — индуцированными зарядами.

Индуцированные заряды проводника создают добавочное электрическое поле, направление которого противоположно внешнему полю.

Результирующее электрическое поле внутри проводника уменьшается, а вместе с ним уменьшаются силы, действующие на перераспределение зарядов. Движение зарядов в проводнике прекратится, когда напряженность поля, вызванного индуцированными зарядами проводника ε_п, станет равной напряженности внешнего поля ε_вн, а результирующая напряженность поля внутри проводника будет равна нулю.

Как было указано выше, диэлектрик отличается от проводника отсутствием свободных электронов (точнее, весьма малым количеством свободных электронов). Электроны атомов диэлектрика прочно связаны с ядром атома.

Диэлектрик, внесенный в электрическое поле, так же как и проводник, электризуется через влияние. Однако между электризацией проводника и диэлектрика имеется существенная разница. Если в проводнике под влиянием сил электрического поля свободные электроны передвигаются по всему объему проводника, то в диэлектрике свободного перемещения электрических зарядов произойти не может. Но в пределах каждой молекулы диэлектрика возникает смещение положительного заряда вдоль направления электрического поля и отрицательного заряда в обратном направлении. В результате на поверхности диэлектрика возникнут электрические заряды.

Рассматриваемое явление называется поляризацией диэлектрика.

Различают диэлектрики двух классов. У диэлектриков первого класса молекула в нейтральном состоянии имеет положительный и отрицательный заряды, настолько близко расположенные один к другому, что действие их взаимно компенсируется. Под влиянием электрического поля положительные и отрицательные заряды в пределах молекулы несколько смещаются один относительно другого, образуя диполь* (рис. 13).

* ()

Рис. 13. Электрические заряды молекул диэлектрика: а — без внешнего поля, б — при наличии поля

У диэлектриков второго класса молекулы и в отсутствие электрического поля образуют диполи. Такие диэлектрики называются полярными. К ним относятся вода, аммиак, эфир, ацетон и т. д. У таких диэлектриков при отсутствии электрического поля диполи в пространстве расположены хаотически, и вследствие этого результирующее электрическое поле вокруг полярного диэлектрика равно нулю. Под действием внешнего электрического поля молекулы (а стало быть, и диполи) стремятся повернуться так, чтобы их оси совпали с направлением внешнего поля. С устранением электрического поля поляризация диэлектрика исчезает. Таким образом, поляризация представляет собой упругое смещение электрических зарядов в веществе диэлектрика.

При некоторой определенной величине напряженности электрического поля смещение зарядов достигает предельной величины, после чего происходит разрушение — пробой диэлектрика, в результате которого диэлектрик теряет свои изолирующие свойства и становится токопроводящим.

Напряженность электрического поля, при которой наступает пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью ε_пр. Напряженность поля, допускаемая при работе диэлектрика ε_доп, должна быть меньше пробивной напряженности. Отношение

называется запасом прочности.

Приведем значения пробивной напряженности (в кв/мм) для некоторых диэлектриков:

Плоский диэлектрик

Почему-то многие иногда называют диэлектрик внутри плоского конденсатора. Быть может, так его называть просто удобнее. На самом деле, плоский конденсатор — это очень интересное устройство, поэтому поговорим о нем и о его диэлектрике (плоском диэлектрике раз уж на то пошло).

Раз уж мы говорим о конденсаторе, то давайте сразу же научимся определять его емкость (или же емкость диэлектрика). Для этого воспользуемся этой прекрасной формулой:

Давайте поймем, что здесь означает каждая из букв. S — это, очевидно, площадь обкладок данного плоского конденсатора. Буква d обозначает расстояние между обкладками, а остальные две переменные — это диэлектрическая проницаемость диэлектрика (плоского диэлектрика) и электрическая постоянная (если кто-то из вас подзабыл, 8,854 пФ/м)

Странно, но сейчас плоские конденсаторы встречаются очень редко. Возможно, это связано с пленочными технологии, которые настолько микроскопически, что делать их довольно сложно и дорого.

Почему плоский с конденсатор с диэлектриком не могут друг без друга?

Ответ на этот вопрос не так уж сложен. Все дело в том, что от диэлектрика зависит самый важный и основной элемент в плоском конденсаторе — его емкость. Давайте поговорим о том, как это работает. Как мы знаем, аморфное вещество состоит из диполей, которые, в свою очередь, укреплены на своих местах и хаотично ориентированы.

Когда поле извне воздействует на это самое аморфное вещество, диполи разворачиваются вдоль силовых линий это внешнего поля. При этом, поле ослабевает, а заряд постепенно накапливается, пока поле не перестанет действовать. И так длится цикл за циклом. Именно поэтому плоский конденсатор с диэлектриком можно рассматривать только вместе.

Проводники в электростатическом поле

Проводниками являются металлы, электролиты (растворы, проводящие ток) плазма. В металлах носителями зарядов являются свободные электроны, в электролитах – положительные и отрицательные ионы, в плазме – свободные электроны и ионы.

У большинства металлов практически каждый атом теряет электрон и становится положительным ионом. Например, у меди в 1 м3 свободных электронов 1029. Свободные электроны в металлах находятся в непрерывном беспорядочном движении. Скорость такого движения примерно равна 105 м/с (100 км/с).

Не смотря на наличие внутри тела зарядов (свободных электронов и ионов), электрического поля внутри проводника нет. Отдельные заряженные частицы создают микроскопические поля. Но эти поля внутри проводника в среднем компенсируют друг друга (рис. 1).

Если бы это условие не выполнялось, то свободные заряды, под действием кулоновских сил, пришли бы в движение. Они двигались бы до тех пор, пока действующая на них сила не обратилась бы в нуль.

Рис. 1

Поместим незаряженный проводник, например, металл, в однородное электростатическое поле с напряженностью \(~\vec E_0\). На свободные электроны начинают действовать электрические силы \(\vec F\), под действием которых электроны приходят в движение (рис. 2). Продолжая беспорядочное движение, электроны начинают смещаться в сторону действия силы (скорость смещения порядка 0,1 мм/с).

Рис. 2

На одной поверхности проводника образуется область с недостатком электронов, на противоположной – с избытком электронов. Это приводит к появлению еще одного электрического поля с напряженностью \( \vec E_{np}\) (рис. 3).

Рис. 3

Общая напряженность \( \vec E\) электрического будет равна

\( \vec E = \vec E_0 + \vec E_{np}, \;\; E = E_0 — E_{np}.\)

Электрическая сила \(F\), действующая на свободные электроны с зарядом q:

\(F = q \cdot E.\)

По мере смещения электронов, заряд на поверхности увеличивается. Это приводит к увеличению напряженности \(E_{np}\) и уменьшению общей напряженности \(E\) (т.к. \(E = E_0 — E_{np}\)). И в какой-то момент напряженность \(E_{np}\) становится равной напряженности внешнего поля \(E_0\), т.е. \(E_{np} = E_0\), и общая напряженность поля внутри проводника становится равной нулю.

Электрическая сила \(F\) в этот момент также становится равной нулю, электроны перестают смещаться, но беспорядочное движение не прекращается. На поверхности проводника остаются электрические заряды.

Явление возникновения электрических зарядов на поверхности проводника под воздействием электрического поля называется электростатической индукцией, а возникшие заряды – индуцированными.

Доля электронов, которые оказались на поверхности, очень мала. Например, если к медной пластинке толщиной в 1 см приложить напряжение в 1000 В, то эта доля составляет 10–10 % от всех свободных электронов.

Каким бы способом ни был заряжен проводник, внутри него поле отсутствует. Это позволяет использовать заземленные полые проводники со сплошными или сетчатыми стенками для электростатической защиты от внешних электростатических полей. Так, например, для защиты военных складов, служащих для хранения взрывчатых веществ, от удара молнии их окружают заземленной проволочной сетью.

Впервые явление электростатической защиты было обнаружено М.Фарадеем в 1836 году. Он провел интересный опыт. Большая деревянная клетка была оклеена тонкими листами олова, изолирована от земли и сильно заряжена. В клетке находился сам Фарадей с очень чувствительным электроскопом. Несмотря на то, что при приближении к клетке тел, соединенных с землей, проскакивали искры, внутри клетки электрическое поле не обнаруживалось.

Определение

Относительная диэлектрическая проницаемость обычно обозначается как ε _r ( ω ) (иногда κ , каппа в нижнем регистре ) и определяется как

εр(ω)знак равноε(ω)ε,{\ displaystyle \ varepsilon _ {r} (\ omega) = {\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0}}},}

где ε ( ω ) — комплексная частотно-зависимая диэлектрическая проницаемость материала, а ε — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Относительная диэлектрическая проницаемость — это безразмерное число, которое, как правило, имеет комплексные значения ; его действительная и мнимая части обозначаются как:

εр(ω)знак равноεр′(ω)-яεр″(ω).{\ displaystyle \ varepsilon _ {r} (\ omega) = \ varepsilon _ {r} ‘(\ omega) -i \ varepsilon _ {r}’ ‘(\ omega).}

Относительная диэлектрическая проницаемость среды связана с его электрической восприимчивости , χ _е , а е _г ( & omega ) = 1 + χ _е .

В анизотропных средах (таких как некубические кристаллы) относительная диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга .

Относительная диэлектрическая проницаемость материала для частоты, равной нулю, известна как его статическая относительная диэлектрическая проницаемость .

Терминология

Исторический термин относительной диэлектрической проницаемости — диэлектрическая проницаемость . Он по-прежнему широко используется, но не рекомендуется организациями по стандартизации из-за его неоднозначности, поскольку в некоторых более старых отчетах он использовался для определения абсолютной диэлектрической проницаемости ε. Диэлектрическая проницаемость может указываться как статическое свойство или как частотно-зависимый вариант. Он также использовался для обозначения только действительной составляющей ε ‘ _r комплексной относительной диэлектрической проницаемости.

Физика

В причинной теории волн диэлектрическая проницаемость — сложная величина. Мнимая часть соответствует фазовому сдвигу поляризации P относительно E и приводит к затуханию электромагнитных волн, проходящих через среду. По определению, линейная относительная диэлектрическая проницаемость вакуума равна 1, то есть ε = ε , хотя существуют теоретические нелинейные квантовые эффекты в вакууме, которыми нельзя пренебречь при высокой напряженности поля.

В следующей таблице приведены некоторые типичные значения.

Низкочастотные диэлектрические проницаемости некоторых распространенных растворителей
Растворитель	Диэлектрическая постоянная	Температура (K)
бензол	2.3	298
диэтиловый эфир	4.3	293
тетрагидрофуран (THF)	7,6	298
дихлорметан	9.1	293
жидкий аммиак	17	273
этиловый спирт	24,3	298
метанол	32,7	298
нитрометан	35,9	303
диметилформамид (ДМФ)	36,7	298
ацетонитрил	37,5	293
вода	78,4	298
формамид	109	293

Диэлектрическая проницаемость вакуума

Диэлектрическая проницаемость вакуума ε (также называемая диэлектрической проницаемостью свободного пространства или электрической постоянной ) представляет собой отношениеDEв свободном пространстве . Он также появляется в постоянной кулоновской силы ,

kезнак равно14πε{\ displaystyle k _ {\ text {e}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}

Его ценность

ε знак равноdеж 1c2μзнак равно135 год950207149 4727056π Ф / м≈8,8541878176…×10-12 Ф / м {\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2} \ mu _ {0}}} = { \ frac {1} {35 \, 950 \, 207 \, 149.472 \, 7056 \ pi}} {\ text {F / m}} \ приблизительно 8.854 \, 187 \, 8176 \ ldots \ times 10 ^ {- 12 } {\ text {F / m}}}

куда

c — скорость света в свободном пространстве,
µ — проницаемость вакуума .

Константы c и μ были определены в единицах СИ, чтобы иметь точные числовые значения до переопределения единиц СИ в 2019 году. (Аппроксимация во втором значении ε выше проистекает из того, что π является иррациональным числом .)

Потерянная среда

Опять же, как и для абсолютной диэлектрической проницаемости , относительная диэлектрическая проницаемость для материалов с потерями может быть сформулирована как:

εрзнак равноεр′-яσωε,{\ displaystyle \ varepsilon _ {r} = \ varepsilon _ {r} ‘- {\ frac {i \ sigma} {\ omega \ varepsilon _ {0}}},}

в терминах «диэлектрической проводимости» σ (единицы См / м, сименс на метр), которая «суммирует все диссипативные эффекты материала; она может представлять фактическую проводимость, вызванную мигрирующими носителями заряда, а также может относятся к потерям энергии, связанным с дисперсией ε ‘ »(стр. 8). Разложив угловую частоту ω = 2π c / λ и электрическую постоянную ε = 1 /  µ c 2 , можно получить:

εрзнак равноεр′-яσλκ,{\ displaystyle \ varepsilon _ {r} = \ varepsilon _ {r} ‘- я \ sigma \ lambda \ kappa,}

где λ — длина волны, c — скорость света в вакууме, а κ = µ c  / 2π = 59,95849 Ом ≈ 60,0 Ом — недавно введенная константа (единицы Ом или обратный сименс , так что σλκ = ε _r остается без единицы измерения) .

Как не путать проводники и диэлектрики

До этого мы с вами очень подробно рассмотрели диэлектрики, узнали, как они работают, как устроены внутри. Теперь же давайте узнаем, как они используются в реальной жизни и как не спутать их с проводниками.

Где применяются диэлектрики

Диэлектрики применяются во многих сферах жизни, а именно в тех, где нужен электрический ток.

Особенно активно их используют в сельском хозяйстве, промышленности и приборостроении.

Твердые диэлектрики

Диэлектрики бывают разные. Например, твердые диэлектрики могут обеспечивать безопасность приборов, работающий на электричестве. Они являются хорошими изоляторами тока, а значит очень сильно влияют на долговечность этих приборов. Одним из примеров можно назвать диэлектрические перчатки.

Жидкие диэлектрики

А вот диэлектрики жидкие нужны немного для другого. Они то используются в конденсаторах, кабелях, системах охлаждения с циркуляцией воздуха и во многих других приборах.

Газообразные диэлектрики

Также существуют и газообразные диэлектрики, хоть они и не так популярны в наши дни. Эти диэлектрики создала сама природа. Например, водород используется для мощных генераторов, у которых просто запредельная теплоемкость, а вот азот помогает по максимуму сократить окислительные процессы. Самым же простым примером газообразного диэлектрика мы считаем воздух. Да-да, это тоже диэлектрик, причем еще и тепло может отводить.

Помещаем в постоянное поле

Теперь давайте немного отойдем от того, какие вещества могут быть диэлектриками и какие не могут ими быть, тем более что мы уже достаточно хорошо разобрались в этом вопросе.

Давайте попробуем сейчас ответить на такой интересный вопрос: что же будет, если диэлектрик поместить в постоянное электрическое поле? Сначала давайте дадим краткий ответ, а потом уже разберемся в этом вопросе более подробно. Так вот, если поместить диэлектрик в электрическое поле, то заряды диэлектрика, из которых он состоит будут под воздействием некоторых сил, которые будут:

смещать связанные заряды (это только электроны и ионы)
накладывать на беспорядочное движение тепла поля, которое будет это движение упорядочивать (положительные заряды будут идти в одну сторону с полем, а отрицательные — в обратную)

Что будет давать упорядоченное перемещение

При упорядочивании зарядов диэлектрика есть целых два варианта развития событий:

новое равновесное состояние с другим распределением зарядов, причем движение сразу прекращается при достижении равновесия
пока поле будет действовать, упорядочивание может длится, пока в нем еще останутся свободные электроны или свободные ионы, о которых мы поговорили выше

Расчет среднего дипольного момента.

Рассчитать средний дипольный момент можно зная энергию диполя (8.22)

где p — собственный дипольный момент молекулы,
q — угол между полем и дипольным моментом.

(13.25)

где

Знаем формулу Больцмана

,
, тогда

где n — некоторая константа. Считая, что энергия диполя невелика по сравнению с тепловой
энергией, последнюю формулу разложим в ряд

Элемент объема в сферической системе координат

Очевидно, что при подстановке в (13.25) константы и одинаковые интегралы сокращаются, тогда

Выполняя интегрирование, и получаем формулу (13.15).

Расчет можно провести более строго. С теорией

вы познакомитесь в классической электродинамике.

Дипольная (ориентационная) поляризация.

Она характерна для полярных молекул, которые в отсутствии
поля имеют собственный дипольный момент. Однако из-за теплового движения эти
диполи ориентированы хаотично, и суммарный дипольный момент равен 0. При наложении
внешнего поля диполи ориентируются по нему, поэтому в целом диэлектрик приобретает
электрический момент. Электрическое поле «причесывает» полярные молекулы, заставляет
их дипольные моменты смотреть в одну сторону (рис.13.5). Тепловое движение вносит
беспорядок. Результат зависит от конкуренции процессов. Поэтому диэлектрическая
проницаемость зависит от температуры.

А откуда берется низкая электропроводность?

Как мы знаем из базовой программы по физике, все вещества состоят из атомов. И эти атомы очень активно взаимодействуют друг с другом. У каждого из них есть свой заряд, и благодаря зарядам атомы так или иначе взаимодействуют.

Однако, как же создается такая низкая электропроводность? Вроде же есть атомы, они как-то там взаимодействуют и ток по ним мог бы идти, но не все так просто. Залогом того, чтобы проводимость вещества была низкой, выступает очень важный факт.

Если при наложении поля электроны, ионы и другие частицы не смогут свободно перемещаться или будут это делать очень плохо, то и электропроводность будет низкая, ведь все будет стоять на своих местах и свободным электронам будет просто некуда деться.

Измерение

Относительную диэлектрическую проницаемость материала можно определить с помощью различных статических электрических измерений. Комплексная диэлектрическая проницаемость оценивается в широком диапазоне частот с использованием различных вариантов диэлектрической спектроскопии , охватывающих почти 21 порядок величины от 10 -6 до 10 15 герц . Кроме того, с помощью криостатов и печей диэлектрические свойства среды можно охарактеризовать по ряду температур. Чтобы изучить системы для таких разнообразных полей возбуждения, используется ряд измерительных установок, каждая из которых соответствует определенному диапазону частот.

Различные методы микроволновых измерений описаны в Chen et al. . Типичные ошибки для метода Хакки-Коулмана, использующего шайбу материала между проводящими плоскостями, составляют около 0,3%.

Низкочастотные измерения во временной области (от 10 −6 до 10 3 Гц)
Низкочастотные частотной области измерения (10 -5 до 10 6 Гц)
Отражательные коаксиальные методы (от 10 6 до 10 10 Гц)
Коаксиальный метод передачи (от 10 8 до 10 11 Гц)
Квазиоптические методы (от 10 9 до 10 10 Гц)
Терагерцовая спектроскопия во временной области (от 10 11 до 10 13 Гц)
Методы преобразования Фурье (от 10 11 до 10 15 Гц)

На инфракрасных и оптических частотах распространенным методом является эллипсометрия . Интерферометрия с двойной поляризацией также используется для измерения комплексного показателя преломления очень тонких пленок на оптических частотах.

Общие замечания.

Чтобы понять причины поляризации диэлектриков, необходимо вспомнить о молекулярном
строении вещества. В классической физике считается, что молекулы всех веществ
построены из атомов, которые в свою очередь состоят из элементарных заряженных
и не заряженных частиц. При воздействии на них внешнего электрического поля
возникает их смещение друг относительно друга и, следовательно, дипольный момент.
Однако эти смещения по-разному происходят у разных веществ, и даже в газах.

Молекулы некоторых газов (гелий, водород, кислород),
состоящие из двух симметричных атомов, лишены собственного дипольного момента,
так как у них центры положительных и отрицательных зарядов совпадают (рис.13.1).
Такие молекулы называются неполярными.

Зато молекулы других газов (водяной пар, спирты, эфиры, HCl,
углекислый газ) образуют несимметричную структуру и обладают постоянным электрическим
дипольным моментом (рис.13.2), так как у них центры положительного и отрицательного
зарядов не совпадают. Такие молекулы называются полярными.

Практическое применение

Определение емкости

Емкость конденсатора зависит от его конструкции и архитектуры, что означает, что она не меняется при зарядке и разрядке. Формула для емкости с записывается как

Cзнак равноε Аd{\ Displaystyle C = \ varepsilon \ {\ frac {A} {d}}}

где — площадь одной пластины, — расстояние между пластинами, — диэлектрическая проницаемость среды между двумя пластинами. Для конденсатора с относительной диэлектрической проницаемостью можно сказать, что
А{\ displaystyle A}d{\ displaystyle d}ε{\ displaystyle \ varepsilon}κ{\ displaystyle \ kappa}

Cзнак равноκ εАd{\ displaystyle C = \ kappa \ \ varepsilon _ {0} {\ frac {A} {d}}}

Закон Гаусса

Диэлектрическая проницаемость связана с электрическим потоком (и, соответственно, с электрическим полем) через закон Гаусса . Закон гласит, что Gauss для замкнутой гауссовой поверхности , S

ΦEзнак равноQприложитьεзнак равно∮SE⋅dА{\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {Q _ {\ text {enc}}} {\ varepsilon _ {0}}} = \ oint _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {A}}

где — чистый электрический поток, проходящий через поверхность, — это заряд, заключенный в гауссовой поверхности, — это вектор электрического поля в данной точке на поверхности, и — это вектор дифференциальной площади на гауссовой поверхности.
ΦE{\ displaystyle \ Phi _ {E}}Qприложить{\ displaystyle Q _ {\ text {enc}}}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}dА{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {A}}

Если гауссова поверхность равномерно охватывает изолированное симметричное расположение зарядов, формулу можно упростить до

EАпотому что⁡(θ)знак равноQприложитьε{\ displaystyle EA \ cos (\ theta) = {\ frac {Q _ {\ text {enc}}} {\ varepsilon _ {0}}}}

где представляет собой угол между силовыми линиями электрического поля и нормальным (перпендикулярным) S .
θ{\ displaystyle \ theta}

Если все силовые линии электрического поля пересекают поверхность под углом 90 °, формулу можно упростить до

Eзнак равноQприложитьεА{\ displaystyle E = {\ frac {Q _ {\ text {enc}}} {\ varepsilon _ {0} A}}}

Поскольку площадь поверхности сферы равна , электрическое поле на расстоянии от однородного сферического заряда составляет
4πр2{\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}р{\ displaystyle r}

Eзнак равноQεАзнак равноQε(4πр2)знак равноQ4πεр2знак равноkQр2{\ displaystyle E = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0} A}} = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0} \ left (4 \ pi r ^ {2} \ right)} } = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} = {\ frac {kQ} {r ^ {2}}}}

где — постоянная Кулона ( ). Эта формула применяется к электрическому полю, создаваемому точечным зарядом, за пределами проводящей сферы или оболочки, за пределами однородно заряженной изолирующей сферы или между пластинами сферического конденсатора.
k{\ displaystyle k}∼9.0×109 мF{\ displaystyle \ sim 9.0 \ times 10 ^ {9} \ {\ text {m}} / {\ text {F}}}