Системы счисления чисел

Содержание

Системы счисления в информатике

В информатике принято выделять четыре основных системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Связано это, в первую очередь, с их использованием в различных отраслях программирования.

Так, восьмеричная система требуется для перевода в двоичные числа на цифровых устройствах и в компьютерной документации. Позднее ей на смену пришла шестнадцатеричная, которую используют для записи символов Юникода. Однако восьмеричный код до сих пор применяется в системе Linux. Наиболее же распространенной системой является двоичная, которая используется в программировании практически всех ЭВМ.

Таблица и алфавит

Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1. Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.

Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.

Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы. Например:

100110₂ = 1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 2 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38₁₀

Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:

Делимое	38	19	9	4	2
Делитель	2	2	2	2	2
Частное	19	9	4	2	1
Остаток	1	1

38₁₀ = 100110₂

Для перевода в другие системы необходимо:

Перевести двоичный код в десятичный.
Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.

Однако можно воспользоваться и более быстрым и удобным способом: разделить знаки двоичного числа на условные группы слева на право (для восьмеричной — по 3 знака; для шестнадцатеричной — по 4 знака), а затем воспользоваться таблицей перевода:

Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000		8
1001		9
1010		A
1011		B
1100		C
1101		D
1110		E
1111		F

Например:

11001001₂ = 11 001 001 = 011 001 001 = 311₈

11001001₂ = 1100 1001 = С9₁₆

Онлайн конвертер

ОсновныеДвоичная (2)Восьмеричная (8)Десятичная (10)Шестнадцатеричная (16)ДополнительныеТроичная (3)Четверичная (4)Пятиричная (5)Шестиричная (6)Семиричная (7)Девятиричная (9)Одиннадцатиричная (11)Двенадцатиричная (12)Тринадцатиричная (13)Четырнадцатиричная (14)Пятнадцатиричная (15)Двадцатеричная (20) ⇒ОсновныеДвоичная (2)Восьмеричная (8)Десятичная (10)Шестнадцатеричная (16)ДополнительныеТроичная (3)Четверичная (4)Пятиричная (5)Шестиричная (6)Семиричная (7)Девятиричная (9)Одиннадцатиричная (11)Двенадцатиричная (12)Тринадцатиричная (13)Четырнадцатиричная (14)Пятнадцатиричная (15)Двадцатеричная (20)
Просто введите целое число и выберете системы счисления.

Для примера переведём число 123 из десятеричной системы в другие:

в двоичную: 123₁₀ = 1111011₂
в восьмеричную: 123₁₀ = 173₈
в шестнадцатеричную: 123₁₀ = 7B₁₆
в троичную: 123₁₀ = 11120₃
в четверичную: 123₁₀ = 1323₄
в пятиричную: 123₁₀ = 443₅
в шестиричную: 123₁₀ = 323₆
в семиричную: 123₁₀ = 234₇
в девятиричную: 123₁₀ = 146₉
в одиннадцатиричную: 123₁₀ = 102₁₁
в двенадцатиричную: 123₁₀ = A3₁₂
в тринадцатиричную: 123₁₀ = 96₁₃
в четырнадцатиричную: 123₁₀ = 8B₁₄
в пятнадцатиричную: 123₁₀ = 83₁₅
в двадцатеричную: 123₁₀ = 63₂₀

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число:	5	9	2	1
Позиция:	3	2	1

Число 5921 можно записать в следующем виде: = = . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число:	1	2	3	4	5	6	7
Позиция:	3	2	1	-1	-2	-3

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: = = .

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

12 – XII

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112

Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Способ 1:

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Популярные статьи Конденсатор CBB61

Возьмем число 43₈.
Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100.
Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011.
Записываем вместе и получаем 100011₂

Способ 2:

Используем таблицу триад:

Цифра	1	2	3	4	5	6	7
Триада	000	001	010	011	100	101	110	111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

351₈ = (011) (101) (001) = 011101001₂ = 11101001₂

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число	6	3	7	2
позиция	3	2	1

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число	1	2	8	7	.	9	2	3
позиция	3	2	1		-1	-2	-3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц_n·sn+Ц_n-1·sn-1+…+Ц₁·s1+Ц·s+Д_-1·s-1+Д_-2·s-2+…+Д_-k·s-k

где Ц_n-целое число в позиции n, Д_-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10	2	8	16
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35;
CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (полупроводниковые транзисторы и микросхемы), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В реальном устройстве это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т.п.

Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную.

101010102=1⋅27+⋅26+1⋅25+⋅24+1⋅23+⋅22+1⋅21+⋅2=128+32+8+2=170{\displaystyle 10101010_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=128+32+8+2=170};

Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Ниже представлена таблица:

Степень	Значение
1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

Произведём обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить всё время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмём число 33.

33 : 2 = 16 остаток 1;
16 : 2 = 8 остаток 0;
8 : 2 = 4 остаток 0;
4 : 2 = 2 остаток 0;
2 : 2 = 1 остаток 0;
1 : 2 = 0 остаток 1;

Получили 1000012{\displaystyle 100001_{2}}.

Возьмём число 55. Посмотрим, что получится.

55 : 2 = 27 остаток 1;
27 : 2 = 13 остаток 1;
13 : 2 = 6 остаток 1;
6 : 2 = 3 остаток 0;
3 : 2 = 1 остаток 1;
1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили 1101112{\displaystyle 110111_{2}}.

Ниже приведены ещё примеры со сложением, вычитанием, умножением и делением.

Сложение:

Вычитание:

1110
0101
----
1001

Умножение:

Деление:

1000110|101
 101   -----
----   0001110 
  111
  101
  ---
   101
   101
   ---
     00

Программа двоичного представления десятичного числа
(Написана на Си)

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

void dv(unsigned);

int main(int argc, char **argv)
{
  unsigned x;
  printf("Vvedite chislo > ");
  scanf("%d", &x);
  dv(x);
  
  getch();
  return ;
}

void dv(unsigned x)
{
  unsigned mask = 1, i;
  mask <<= sizeof(unsigned) * 8 - 1;
    for(i = 1; i <= sizeof(unsigned) * 8; i++)
    {
      printf("%c", x & mask ? '1'  '0');
      x <<= 1;
      if(!(i % 8))
        printf(" ");
    }
    printf("\n");
}

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Пример №1.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,54₈здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 100=4

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13_HEXздесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2, 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101₂ = 1·26+0·25+1·24+0·23+0·22+1·21+0·2 + 1·2-1+0·2-2+1·2-3 = 
 = 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625₁₀

108.5₈ = 1*·82+0·81+8·8 + 5·8-1 = 64+0+8+0.625 = 72.625₁₀

108.5₁₆ = 1·162+0·161+8·16 + 5·16-1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125₁₀

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

Из десятичной системы счисления:
- разделить число на основание переводимой системы счисления;
- найти остаток от деления целой части числа;
- записать все остатки от деления в обратном порядке;
Из двоичной системы счисления
- Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
- Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
  Например, 1000110 = 1 000 110 = 106₈
- Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
  Например, 1000110 = 100 0110 = 46₁₆

Позиционной называется система

Двоичная СС	Шестнадцатеричная СС
0000
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Двоичная СС	Восьмеричная СС
000
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Пример №5. Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.
Решение.
1 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Целая часть от деления	Остаток от деления
100 div 8 = 12	100 mod 8 = 4

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144₈

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть )0.96*8 = 7.68 (целая часть 7)
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5)0.44*8 = 3.52 (целая часть 3)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753₈

100,12₁₀ = 144,0753₈

2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.

Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 82*1 + 81*4 + 8*4 = 64 + 32 + 4 = 100

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8-1*0 + 8-2*7 + 8-3*5 + 8-4*3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753₈ = 100,1199₁₀ ≈ 100,12₁₀Разница в 0,0001 (100,12 — 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).

Перевод любого дробного числа из одной системы в другую

Пример 3: перевести 231.20 из четверичной в семеричную систему счисления.

Общий смысл алгоритма перевода дробного числа, аналогичен алгоритму перевода целого, т.е. вначале переводим в десятичную, а затем в семеричную:

1. Для перевода числа 231.20 в десятичную систему воспользуемся формулой:

A_n = a_n-1 ∙ qn-1 + a_n-2 ∙ qn-2 + ∙∙∙ + a ∙ q + a_-1 ∙ q-1 + ∙∙∙ + a_-m ∙ q-m

Отсюда:

231.20₄=2 ∙ 42 + 3 ∙ 41 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 4-1 + 0 ∙ 4-2 = 2 ∙ 16 + 3 ∙ 4 + 1 ∙ 1 + 2 ∙ 0.25 + 0 ∙ 0.0625 = 32 + 12 + 1 + 0.5 + 0 = 45.5₁₀

Таким образом:

231.20₄ = 45.5₁₀

2. Полученное число 45.5 переведем из десятичной системы счисления в семеричную. Т.к. полученное число содержит дробную часть, нам потребуется перевести вначале целую часть, а затем дробную. Таким образом необходимо:

Перевести 45 в семеричную систему;
Перевести 0.5 в семеричную систему;

2.1 Для того, чтобы перевести число 45 из десятичной системы счисления в 7-ую, необходимо осуществить последовательное деление на 7, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 7.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

45₁₀=63₇

2.2 Для перевода десятичной дроби 0.5 в 7-ую систему, необходимо выполнить последовательное умножение дроби на 7, до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не будет достигнута заданная точность вычисления. Получаем:

0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3) 0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)

Ответом станет прямая последовательность целых частей произведения. Т.е.

0.5₁₀=0.33333333333₇

2.3. Осталось соединить переведенные части, таким образом:

45.5₁₀=63.33333333333₇

Ответ: 231.20₄ = 63.33333333333₇.

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
000
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

А вот таблица для шестнадцатеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
0000
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Перевод произвести очень просто, посмотрим на примере числа 010011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице переводим: 23228{\displaystyle 2322_{8}}.

Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D216{\displaystyle 4D2_{16}}. С помощью калькулятора Windows мы можем убедиться, что всё проделано верно.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы «h» (от англ. hexadecimal) и «b» (от англ. binary) для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

Какие бывают системы счисления

Наиболее часто используемыми системами счисления являются:

двоичная (2) – все числа записываются лишь посредством двух символов: 0 и 1. Используется в дискретной математике, информатике и программировании.
троичная (3) – числа записываются посредством трёх символов: 0, 1 и 2. Используется в цифровой электронике.
восьмеричная (8) – числа записываются посредством цифр от 0 до 7. Используется в областях связных с цифровыми устройствами, так как восьмеричные числа легко переводятся в двоичные и обратно.
десятеричная (10) – числа записываются посредством цифр от 0 до 9. Используется повсеместно.
двенадцатеричная (12) – числа записываются посредством цифр от 0 до 9 и буквами A и B. Cчёт дюжинами…
шестнадцатеричная (16) – числа записываются посредством цифр от 0 до 9 и буквами A, B, C, D, E, F. Широко используется в программировании и информатике.
двадцатеричная (20) – числа записываются посредством цифр от 0 до 9 и буквами A, B, C, D, E, F, G, H, I (или J), J( или K). Исторически используется во многих языках, в частности в языке йоруба, у тлинкитов, в системе записи чисел майя, некоторых азиатских и кавказских языках.

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

Символы следует писать по убыванию слева направо.
Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.