Законы алгебры контактных схем

Расчет электрических цепей

3.11. Что такое переключательная схема

Глава 3

3.6. Что такое триггер

Электрические цепи

Задача о минимизации контактной схемы[править]

Классификация электрических цепей

3.9. Как составить таблицу истинности

3.7. Что такое сумматор

3.5. Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ

3.10. Как упростить логическую формулу

С х е м а И

С х е м а ИЛИ

С х е м а НЕ

С х е м а И—НЕ

С х е м а ИЛИ—НЕ

Содержание

Рассчитать цепь – значит найти все токи в ней. Существуют разные методы расчета электрических цепей: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Рассмотрим применение метода контурных токов на примере конкретной цепи.

Сначала выделим контуры и обозначим ток в них. Направление тока можно выбирать произвольно. В нашем случае – по часовой стрелке. Затем для каждого контура составим уравнения по 2 закону Кирхгофа. Уравнения составляются так: Ток контура умножается на сопротивление контура, к полученному выражению добавляются произведения тока других контуров и общих сопротивлений этих контуров. Для нашей схемы:

Полученная система решается с подставкой исходных данных задачи. Токи в ветвях исходной цепи находим как алгебраическую сумму контурных токов

Какую бы цепь Вам ни понадобилось рассчитать, наши специалисты всегда помогут справится с заданиями. Мы найдем все токи по правилу Кирхгофа и решим любой пример на переходные процессы в электрических цепях. Получайте удовольствие от учебы вместе с нами!

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются
электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле,
выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что
здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема — это схематическое изображение
некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их
проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых
снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и
разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую
переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае,
когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель
разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны
таким образом, что когда Х замкнут, то
разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в
соответствие логическая переменная х, то переключателю должна
соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую
переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не
проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем
переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a): Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно
F=1;
б): Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно
F=0;
в): Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х
разомкнут, следовательно, F(x) = x;
г): Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда
х замкнут, следовательно, F(x) = ;
д): Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно,
F(x) = x . y;
е): Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут,
следовательно, F(x)=x v y;
ж): Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией .

Две схемы называются равносильными, если через одну из
них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при
одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та
схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических
операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень
важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И

Журавлев,
С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи:
синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём
этапам:

составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти
условия;
упрощению этой функции;
построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах
входящих в эту функцию переменных.
получению упрощённой формулы.

Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя
x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут
контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы
истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) =
t . (x v y v z), а схема выглядит так:

2. Построим схему с пятью переключателями,
которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из
этих переключателей.

Схема имеет вид:

3. Найдем функцию проводимости схемы:

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых
переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a,
e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция
проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b v a .
e . d v c . d v c .
e . b.

4. Упростим переключательные схемы:

а)

Решение:

Упрощенная схема:

б)

Здесь первое логическое слагаемое является
отрицанием второго логического слагаемого , а
дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

в)

Упрощенная схема:

г)

Упрощенная схема:

д)

(по
закону склеивания)

Упрощенная схема:

е)

Решение:

Упрощенная схема:

ТЕОРИЯ
КОНТРОЛЯ КОНТАКТНЫХ СХЕМ

3.1.
Представление контактных схем

В данной книге рассматриваются проблемы
диагностирования четырех классов устройств: релейно-контактных схем (РКС), схем
на функциональных логических элементах, микропроцессорных систем и аналоговых
устройств. Наиболее простым объектом является РКС, которым посвящена данная
глава.

Будем рассматривать схемы,
построенные на замыкающих (фронтовых) и размыкающих (тыловых) контактах
нейтральных реле. Известно, что любая функция алгебры логики, записанная в базисе
{И, ИЛИ, НЕ}, может быть реализована с помощью контактной схемы. При этом
функция И реализуется за счет последовательного соединения контактных
двухполюсников, функция ИЛИ – за счет их параллельного соединения, а функция НЕ
– за счет использования размыкающего контакта реле. На рис. 3.1 представлена
контактная схема, вычисляющая функцию

. (3.1)

Рис.3.1. Параллельно-последовательная схема

Схемы, построенные по
указанным правилам, называются параллельно-последовательными. В них
любые два контактных двухполюсника соединены параллельно или последовательно.
Это свойство не выполняется в мостиковых схемах. Пример такой схемы
приведен на рис. 3.2.

Рис.3.2. Мостиковая схема

В дальнейшем рассматриваются
параллельно-последовательные схемы, как наиболее распространенные на практике.

Путь Р в схеме есть
минимальное множество контактов, замыкание которых образует путь проводимости
между внешними полюсами схемы. На рис. 3.1 внешними полюсами являются точки 1 и
2 и схема имеет шесть путей: , , , , , .

Сечение S в схеме есть минимальное множество
контактов, размыкание которых обеспечивает обрыв проводимости между внешними
полюсами схемы. Схема на рис. 3.1 имеет шесть сечений (переменные,
соответствующие контактам сечения записываются с инверсией, так как контакты
должны быть разомкнуты): , , , , , . Следует заметить, что не всякий путь и не
всякое сечение реализуются, так как они могут содержать противоречие. Так, для
реализации сечения необходимо, чтобы одновременно
были разомкнуты размыкающий и замыкающий контакты реле А, что невозможно.

Для каждой контактной схемы
существует инверсная ей схема, реализующая инверсную функцию . Она получается из исходной схемы заменой
замыкающих контактов на размыкающие и наоборот, а также заменой
последовательного соединения контактных двухполюсников на параллельное и
наоборот. На рис. 3.3 представлена схема, инверсная схеме на рис. 3.1, вычисляющая
функцию

. (3.2)

Рис3.3. Инверсная контактная схема

Очевидно, в инверсных друг другу
схемах пути одной схемы соответствуют сечениям другой и наоборот.

Структура контактной схемы
полностью задается дизъюнкцией путей. Эта формула называется эквивалентной
нормальной формой (ЭНФ), Для схемы (рис. 3.1) она имеет вид

. (3.3)

Буквы ЭНФ соответствуют контактам, а
конъюнкции ЭНФ – путям схемы. Обратная эквивалентная нормальная форма (ОЭНФ)
описывает структуру инверсной схемы (рис. 3.3):

. (3.4)

Если в формулах ЭНФ и ОЭНФ (3.3 и 3.4) исключить индексы
букв, то получим формулы, эквивалентные функциям и (3.1 и 3.2).

ЭНФ и ОЭНФ содержат всю
необходимую информацию для решения любой задачи тестирования контактной схемы.
Их недостатком является громоздкость при большом числе путей. Например, на рис.
3.4 приведена контактная структура, сложность ЭНФ (число путей) которой растет
по закону .

Рис.3.4. Пример контактной структуры

Существует представление РКС,
сложность которого растет лишь линейно .

Введем отношение совместимости
между буквами ЭНФ (контактами). Две буквы a и b
называются совместимыми, если они вместе входят хотя бы в одну конъюнкцию ЭНФ.
Отношение совместимости обозначим знаком *. Это отношение является рефлексивным (a* a) и симметричным (a * b Þ b * a) и задается двоичной матрицей совместимости
(МС). Строки и столбцы МС соответствуют буквам ЭНФ (контактам). На пересечении
строки a и столбца b ставится 1, если буквы a и b совместимы. В табл. 3.1 показана МС для схемы (рис.
3.1), а в табл. 3.2 – обратная МС (ОМС) для инверсной схемы (рис. 3.3).

МС в неявном виде задает ЭНФ. Это определяет
следующая теорема.

Теорема 3.1. Для
того, чтобы множество букв ЭНФ составляло конъюнкцию
ЭНФ необходимо и достаточно выполнение двух
условий:

1) буквы попарно
совместимы;

2) не существует буквы , которая совместима со всеми буквами из М.

Триггер — это электронная схема, широко применяемая в
регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного
кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых
соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.

Термин триггер происходит от английского слова trigger —
защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще
употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это
звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти
мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в
другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R,
соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс).
Условное обозначение триггера — на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала .

На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде
кратковременных импульсов ( ).

Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие —
нулем.

На рис. 3.7 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ—НЕ и
соответствующая таблица истинности.

Рис. 3.7.

S	R	Q
запрещено
1	1
1	1
1	1	хранение бита

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя
его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ—НЕ (табл. 3.5).

Если на входы триггера подать S=“1”, R=“0”, то (независимо от состояния)
на выходе Q верхнего вентиля появится “0”. После этого на входах нижнего
вентиля окажется R=“0”, Q=“0” и выход станет
равным “1”.
Точно так же при подаче “0” на вход S и “1” на вход R на выходе появится “0”, а на Q — “1”.
Если на входы R и S подана логическая “1”, то состояние Q и не
меняется.
Подача на оба входа R и S логического “0” может привести к неоднозначному
результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то
для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта,
соответственно, 8 х 210 = 8192 триггеров. Современные микросхемы
памяти содержат миллионы триггеров.

Рассмотрим самую простую электрическую цепь. Из чего она состоит? В ней есть генератор – источник тока, приемник (например, лампочка или электродвигатель), а также система передачи (провода). Чтобы цепь стала именно цепью, а не набором проводов и батареек, ее элементы должны быть соединены между собой проводниками. Ток может течь только по замкнутой цепи. Дадим еще одно определение:

Конечно, источник, приемник и провода – самый простой вариант для элементарной электрической цепи. В реальности в разные цепи входит еще множество элементов и вспомогательного оборудования: резисторы, конденсаторы, рубильники, амперметры, вольтметры, выключатели, контактные соединения, трансформаторы и прочее.

Электрическая цепь

Кстати, о том, что такое трансформатор, читайте в отдельном материале нашего блога.

По какому фундаментальному признаку можно разделить все цепи электрического тока? По тому же, что и ток! Есть цепи постоянного тока, а есть – переменного. В цепи постоянного тока он не меняет своего направления, полярность источника постоянна. Переменный же ток периодически изменяется во времени как по направлению, так и по величине.

Сейчас переменный ток используется повсеместно. О том, что для этого сделал Никола Тесла, читайте в нашей статье.

Определение:

Две контактные схемы называются эквивалентными (англ. equivalent contact circuits), если они реализуют одну и ту же булеву функцию.

Определение:

Сложностью контактной схемы (англ. the complexity of the contact circuit) называется число
ее контактов.

Определение:

Минимальная контактная схема (англ. minimal contact circuit) — схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.

Определение:

Дерево конъюнктов для переменных — двоичное ориентированное дерево глубиной , такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной , а правое помечено символом отрицания переменной .

Задача минимизации контактных схем состоит в том, чтобы по данной схеме найти схему , эквивалентную и имеющую наименьшую сложность.
Один из путей решения этой задачи состоит в следующем:

Осуществляем переход от контактной схемы к её булевой функции .
Упрощаем , то есть отыскиваем функцию (на том же базисе, что и , равносильную и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать карты Карно.
Строим схему , реализующую функцию .

Теорема:

Любую булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью

Доказательство:

Пусть дана функция и она представлена в ДНФ

Дерево конъюнктов для 2-х переменных

Возьмем дерево конъюнктов для переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины до «нижних» вершин дерево можно добраться за , а ребер у такого дерева

Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной контактами, над которыми написана . От этого в схему добавится не более, чем ребер и тогда сложность останется .

В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью

По назначению электрические цепи бывают:

Силовые электрические цепи;
Электрические цепи управления;
Электрические цепи измерения;

Силовые цепи предназначены для передачи и распределения электрической энергии. Именно силовые цепи ведут ток к потребителю.

Также цепи разделяют по силе тока в них. Например, если ток в цепи превышает 5 ампер, то цепь силовая. Когда вы щелкаете чайник, включенный в розетку, Вы замыкаете силовую электрическую цепь.

Электрические цепи управления не являются силовыми и предназначены для приведения в действие или изменения параметров работы электрических устройств и оборудования. Пример цепи управления – аппаратура контроля, управления и сигнализации.

Электрические цепи измерения предназначены для фиксации изменений параметров работы электрического оборудования.

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает
соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями
формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений
переменных всего четыре:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1,
1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений
переменных восемь:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0),
(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1,
1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и
т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица,
содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения
промежуточных формул.

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы , которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах
таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих
столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение
формулы. В результате получим таблицу:

Переменные	Промежуточные логические формулы	Формула

1	1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула
принимает значение 1, то есть является тождественно
истинной.

2. Таблица истинности для формулы :

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y
формула принимает значение 0, то есть является тождественно
ложной.

3. Таблица истинности для формулы :

Переменные	Промежуточные логические формулы	Формула

1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1

Из таблицы видно, что формула в
некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является
выполнимой.

Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая
суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического
устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах
машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения
многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных
сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное обозначение
одноразрядного сумматора на рис. 3.8.

Рис. 3.8.

При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с
тремя цифрами:

1. цифра a_i первого
слагаемого;

2. цифра b_i второго
слагаемого;

3. перенос p_i–1 из младшего
разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра c_i для суммы;

2. перенос p_i из данного
разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя
входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей
таблицей истинности:

Входы	Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос
1	1
1	1
1	1	1
1	1
1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно
использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух
соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для
другого.

Например, схема вычисления суммы C = (с₃ c₂
c₁ c) двух двоичных трехразрядных чисел A =
(a₂ a₁ a) и B = (b₂ b₁
b) может иметь вид:

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.
Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами
представлено на рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Таблица истинности схемы И

x	y	x & y
1
1
1	1	1

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах
будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет
ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и
y описывается соотношением: z = x & y
(читается как «x и y»). Операция конъюнкции на структурных схемах
обозначается знаком «&» (читается как
«амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова
and.

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических
значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет
единица, на её выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами
представлено на рис. 3.2. Знак «1» на схеме — от устаревшего
обозначения дизъюнкции как «>=1» (т.е. значение
дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).
Связь между выходом z этой схемы и входами
x и y описывается соотношением:
z = x v y (читается как «x или y»).

Рис. 3.2.

Таблица истинности схемы ИЛИ

x	y	x v y
1	1
1	1
1	1	1

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.
Связь между входом x этой схемы и выходом
z можно записать соотношением z = ,
x где
читается как «не x» или «инверсия х».

Если на входе схемы 0, то на выходе 1.
Когда на входе 1, на выходе Условное
обозначение на структурных схемах инвертора — на рисунке 3.3.

Рис. 3.3.

Таблица истинности схемы НЕ

x
1
1

Схема И—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами
x и y схемы записывают следующим образом: , где

читается как «инверсия x и y». Условное обозначение на
структурных схемах схемы И—НЕ с двумя входами представлено
на рисунке 3.4.

Рис. 3.4.

Таблица истинности схемы И—НЕ

x	y
1
1	1
1	1
1	1

Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и
осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между
выходом z и входами x и
y схемы записывают следующим образом: ,
где ,
читается как «инверсия x или y «. Условное
обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ—НЕ с двумя входами
представлено на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ

x	y
1
1
1
1	1

Переменные

Промежуточные логические формулы

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и
преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или
приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры
логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций
импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование,
приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной
меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний
неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул
в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование
переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие
преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной
алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов
поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении
логических формул:

1) (законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило
де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и
правило операций с константами);

2) (применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель,
используется правило операций переменной с её инверсией);

3) (повторяется второй сомножитель, что разрешено законом
идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и
используется закон склеивания);

4) (вводится вспомогательный логический сомножитель (); затем
комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется
закон поглощения);

5) (сначаладобиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед
отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем
правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

6) (выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с
константами);

7) (к
отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются
законы двойного отрицания и склеивания);

(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках —
первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

9) (используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции
переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный
закон и распределительный закон для конъюнкции);

10) (используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон
поглощения).

Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда
очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином
шаге. Навыки приходят с опытом.